.
9кл.Алгебра. Проработать опорный конспект; записать формулы и примеры в тетрадь; выполнить задания в рабочих тетрадях.
Геометрическая прогрессия
Определение. Числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен произведению предыдущего и некоторого фиксированного числа, называется геометрической прогрессией.
Число q называется знаменателем прогрессии.
Пример. 1,2,4,8,16… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен единице b1=1, a q=2.
Пример. 16,8,4,2,1,1/2… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен шестнадцати b1=16, a q=1/2.
Пример. 8,8,8,8… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен восьми b1=8, а q=1.
Пример. 3,-3,3,-3,3… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен трем b1 =3, а q=−1.
Геометрическая прогрессия обладает свойствами монотонности.
Если b1 >0, q>1, то последовательность возрастающая.
Если b1>0, 0
Последовательность принято обозначать в виде: b1,b2,b3,...,bn,..
Eсли в геометрической прогрессии количество элементов конечно, то прогрессия называется конечной геометрической прогрессией. b1,b2,b3,...,bп-2,bп-1,,bn.
Формула n-ого члена геометрической прогрессии: bn=b1 ∗qn-1
Пример. 1,2,4,8,16… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен единице, b1=1, а q=2 и bn=1∗2n=2n−1.
Пример. 16,8,4,2,1,1/2… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен шестнадцати, а q=1/2 и bn=16∗(1/2)n−1
Пример. 8,8,8,8… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен восьми, а q=1 и bn=8∗1n−1
Пример. 3,-3,3,-3,3… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен трем, а q=−1 и bn=3∗(−1)n−1.
Пример. Дана геометрическая прогрессия b1,b2,…,bn
а) Известно, что b1=6,q=3. Найти b5.
б) Известно, что b1=6,q=2,bn=768. Найти n.
в) Известно, что q=−2,b6=96. Найти b1.
г) Известно, что b1=−2,b12=4096. Найти q.
Решения.
а) b5=b1∗q4=6∗34 =486.
б) bn=b1∗qn−1=6∗2n−1=768.2n−1=768/6=128,так как 27=128=>n−1=7; n=8.
в) b6=b1∗q5 =b1∗(−2)5 =−32∗b1=96=>b1=−3.
г) b12=b1∗q11 =−2∗q11=4096=>q11=−2048=>q=−2.
Пример. Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равны 192, сумма пятого и шестого члена прогрессии равна 192. Найти десятый член этой прогрессии.
Решение: Нам известно, что: b7−b5=192 и b5+b6=192.
Мы так же знаем: b5=b1∗q4 ; b6=b1∗q5 ; b7=b1∗q6 . Тогда:
b1∗q6 −b1∗q4 =192 и b1∗q4 +b1∗q5 =192.
Получили систему уравнений:
{b1∗q4 (q2 −1)=192 и b1∗q4 (1+q)=192.
Приравняв, наши уравнения получим:
b1∗q4 (q2 −1)=b1∗q4 (1+q).
q2 −1=q+1; q2 −q−2=0;
Получили два решения q: q1 =2,q2 =−1.
Последовательно подставим во второе уравнение:
b1 ∗24 ∗3=192=>b1 =4; b1 ∗(−1)4 ∗0=192=> нет решений.
Получили что: b1 =4,q=2.
Найдем десятый член: b10=b1∗q9 =4∗29 =2048. Ответ: b10 = 2048/
Сумма конечной геометрической прогрессии: Sn =b1* (qn−1) / q−1.
Пример 1. Найти сумму первых семи членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 4, а знаменатель 3.
Решение: S7 =4∗(37−1)/3−1=2∗(37−1)=4372. Ответ: S7=4372/
Пример 2. Найти пятый член геометрической прогрессии, о которой известно: b1=−3; bn=−3072; Sn=−4095.
Решение: bn =(−3)∗qn-1 =−3072.
qn-1 =1024.
qn =1024q. Sn =−3∗(qn −1)/q−1=−4095.
−4095(q−1)=−3∗(qn −1).
−4095(q−1)=−3∗(1024q−1).
1365q−1365=1024q−1.
341q=1364; q=4.
b5 =b1 ∗q4 =−3∗44 =−3∗256=−768. Ответ: b5 = -768.
Числовая последовательность является геометрической прогрессией, только когда квадрат каждого её члена равен произведению двух соседних с ним членов прогрессии. Не забываем, что для конечной прогрессии это условие не выполняется для первого и последнего члена.
Это тождество: bп2 =bп-1 ∗ bп+1, является свойством геометрической прогрессии. |bn|=√bп-1 ∗ bп+1 ; √a∗ b -- называется средним геометрическим чисел a и b.
Модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.
Пример. Найти такие х, что бы х+2;2x+2;3x+3х+2;2x+2;3x+3 являлись тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
Решение. Воспользуемся характеристическим свойством:
(2x+2)2 =(x+2)(3x+3)
4x2 +8x+4=3x2 +3x+6x+6.
x2 −x−2=0, x1 =2 и x2 =−1.
Подставим последовательно в исходные выражение, наши решения:
При x=2, получили последовательность: 4;6;9 – геометрическая прогрессия, у которой q=1,5. При х=−1, получили последовательность: 1;0;0.
Ответ: .х=2.
Задания для самостоятельного решения
1. Найдите восьмой первый член геометрической прогрессии 16;-8;4;-2… .
2. Найдите десятый член геометрической прогрессии 11,22,44… .
3. Известно, что b1 =5,q=3. Найти b7.
4. Известно, что b1 =8,q=−2,bn=512. Найти n.
5. Найдите сумму первых 11 членов геометрической прогрессии 3;12;48… .
6. Найти такие х, что 3х+4;2x+4;x+5 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
Помощь по сайту